Fonction racine carrée - Définition et variations

Définition

Soit \(a\) un nombre positif. On appelle racine carrée de \(a\) l'unique nombre positif dont le carré est \(a\). On note ce nombre \(\sqrt{a}\).

Remarque

Soit \(a\geq0\). On a :

• \(\sqrt{a}\geq0\)
  
• \((\sqrt{a})^2=a\)
  

Définition

On appelle fonction racine carrée la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+=\left[~0~;~+\infty\right[\) par \(f(x)=\sqrt{x}\).

Remarque

Les nombres réels strictement négatifs sont les valeurs interdites de l'expression \(\sqrt{x}\).

Propriété Sens de variations

La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(\color{red}{0\leq a<b}\), c'est-à-dire \(a-b<0\).
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
On a \(a-b<0\) et \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\) donc \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<0\), c'est-à-dire \(\color{red}{\sqrt{a}<\sqrt{b}}\).
L'ordre est conservé. La fonction racine carrée est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\).

Propriété Tableau de variations

Voici le tableau de variations de la fonction racine carrée :